Владимир Федорович Молчанов родился в Красноярске. В возрасте семи лет он вместе с семьей переехал в Тамбов. Окончил среднюю школу № 1 Тамбова. С 1955 по 1959 год учился в Тамбовском государственном педагогическом институте (ТГПИ). В 1962 году Владимир Федорович с отличием окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. С 1962 по 1965 год учился в аспирантуре МГУ (руководитель – доктор физико-математических наук Ф.А. Березин). С 1965 года начал работать в ТГПИ на кафедре математического анализа.
В 1967 году защитил диссертацию на соискание степени кандидата физико-математических наук на тему «Гармонический анализ на гиперболоидах», в 1987 году – докторскую диссертацию — «Гармонический анализ на псевдоримановых симметрических пространствах».
С 1969 по 2016 год Владимир Федорович возглавлял кафедру математического анализа. С 2016 года – профессор кафедры функционального анализа.
Владимир Федорович – автор более 100 научных работ, в том числе опубликованных на иностранных языках. Он одним из первых начал изучение гармонического анализа на псевдоримановых симметрических пространствах, в котором добился важных результатов, ввёл новые фундаментальные термины и понятия, предложил новые методы исследования.
Профессор Молчанов – руководитель и участник проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований и Министерством образования РФ, Аналитической целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы», Научно-технической программы «Университеты России», Программы поддержки ведущих научных школ, Международного научного фонда и Правительства России, Фонда содействия Отечественной Науке, Фонда «Династия», Американского математического общества, Голландской организации научных исследований, Японского общества продвижения науки.
Член Московского Математического общества. Член-корреспондент Российской академии естественных наук (РАЕН). Владимир Федорович награждён Серебряной медалью ТГУ имени Г. Р. Державина, почётным знаком «За заслуги перед городом Тамбовом».